01) Mean-Variance

포트폴리오 이론은 Harry Markowitz의 MV(Mean-Variance1)분석에서부터 출발한다. Modern Portfolio Theory로 알려진 이 분석 방법은 수익과 리스크에 대해 설명한다. 금융 자산에 투자할 경우 우리는 수익을 올릴 수 있다. 하지만 이는 일반적이고 평균적인 케이스이며 경우에 따라서는 손실을 볼 수도 있다.

배당이 없는 주식 A를 생각해보자. 이 주식 A를 100만원어치 매입한 후 1년 뒤 매도 한다면, 1년간 가격이 올라있어야 수익을 얻을 것이다. 반대로, 1년뒤 가격이 100만원보다 떨어져 있다면, 우리는 손실을 볼 것이다. 따라서 1년간 이 주식 가격의 변동성이 얼마나 큰지가 우리의 관심사가 된다.

이번엔 눈을 돌려, 1년 만기 미국 국채(T-Bill)을 100만원어치 매입하는 경우를 생각해보자. 현재 이 T-Bill에 대한 이자율(Yield)은 2%로 주어져 있다. 미국 재정이 1년안에 파산할 가능성이 한 없이 0에 가깝다고 가정한다면, T-Bill에 대한 100만원 투자는 1년 뒤 102만원을 회수함으로 2% 수익률을 보일 것이다. 여기서 2%는 소위 말하는 Risk-Free Rate(무위험 수익률)가 된다.

다시 주식 A로 돌아가보자. T-Bill에 대한 투자로 우리는 걱정 없이 2%의 수익률을 올릴 수 있는데도 불구하고, 누군가 주식 A를 사려고 한다면 이는 어떻게 보아야 할까? 이는 바로 주식 A가 변동성이 있는 만큼 ‘기대수익률’이 높기 때문이다. 시장 참여자들이 합리적으로 움직인다면, 주식 A는 T-Bill 대비 변동성이 크기 때문에 기대 수익률이 높지 않으면 사람들은 구매하지 않을 것이다.

# Mean-Variance (평균-분산) 

포트폴리오 이론에서는 기대수익률을 ‘평균’의 개념으로 정의한다. 과거 30년간 주식 A의 연간 수익률을 살펴보니, 평균 8%였다고 해보자. 이는 Rf(Risk-Free rate)대비 6%나 높은 기대 수익률을 뜻한다.

한편 주식 A의 변동성은 Risk를 나타낸다. 변동성은 ‘분산’의 개념으로 정의되지만, 편의를 위해 표준편차를 더욱 자주 사용한다. 과거 30년간 주식 A의 연간 수익률의 분산이 0.01이었다고 해보자. 이때 표준편차는 0.1, 즉 10%가 된다. 이 때 이 10%라는 수치는 우리는 Risk로 보는 것이다. 

※ 포트폴리오 이론에서의 Risk에 대한 정의는, 우리의 상식과는 조금 다를 수 있다. 어떤 자산에 투자할 경우 1/2의 확률로 100% 수익, 나머지 확률로 0% 수익 또는 손실을 기대한다고 해보자. 이 자산은 투자할 경우 100%확률로 -10%손실을 보는 자산보다 더욱 Risky한 자산이 된다. 투자에 대한 손실을 우리는 위험으로 인식할 수는 있지만, 이 위험이 불확실하지 않다면 Risky하지는 않은 것이 된다.

이제 주식 B를 살펴보자. 주식 B는 연간 수익률의 평균이 8%, 그리고 표준편차가 20%라고 하자. 주식 B는 주식 A에 비해 Risk가 더 큰데도 불구하고, 기대수익률이 같다. 이때 주식 B는 주식 A보다 열등한(Dominated) 자산이 되며 시장에서 소외 받게 된다. 주식 B는 시장에서 공급초과가 지속되며 가격이 떨어지게 되고, 이는 이 주식의 수익률을 다시 올려 준다. 결국 Risk가 더욱 큰 자산은 기대수익률도 더 커지는 것이다.

(자산의 리스크(변동성)이 커질수록 기대 수익률 또한 커진다.)

여기서 우리가 연간 수익률의 평균과 분산으로, 자산의 기대수익률과 리스크를 측정하고 있는 이유가 있다. 이는 애초에 우리가 앞으로 1년간 투자를 하기 위해 고민하는 투자자를 상정했기 때문이다. 주식시장을 본다면 단기적으로는 기대수익률대비 Risk가 큰 편이지만, 장기적으로는 Risk 대비 기대수익률이 잘 나오는 경향이 있다. 하지만 모든 투자자들은 각기 다른 Investment Horizon을 가지고 있기 때문에 이를 동시에 분석할 수는 없다. 대신 모든 투자자가 1년간 투자한다면? 이라는 아이디어에서 출발하여 문제를 풀어본 것이다.

# Correlation

두 변수가 있을 때 그 사이의 선형 관계의 강도를 나타내는 계수가 상관계수(Correlation Coefficient)이다. 보통 Correlation이라고 말하는데, 이는 -1과 1사이의 값을 가지는 계수이다. 두 변수 X, Y의 정의 상관관계가 강할수록 Correl은 1에 가까워진다. 반면, 두 변수 X, Y의 음의 상관관계가 강하다면 Correl 은 -1에 가까울 것이다. 또한 두 변수간에 선형 상관관계가 약할 경우 계수는 0에 가깝게 계산된다.

다시 돌아와서 자산 A의 연간수익률과 자산 B의 연간 수익률로도 상관계수를 구할 수 있다. 두 자산이 근본적으로 다르다면 상관계수가 1이 될 수는 없을 것이다. 또한 어떤 자산이 장기적으로 음의 수익률을 보인다면, 이는 시장에서 퇴출될 것이기 때문에 음의 상관관계를 갖는 경우 또한 장기적으로는 보통 존재하지 않는다.

# Diversification

 

이제 우리는 자산 A와 자산 B를 편입한 포트폴리오를 생각해볼 것이다. 이 때 편입 비중은 각각 Wa와 Wb로 표현한다면, 포트폴리오는 다음과 같은 특징을 갖게 된다.

이제 개별 자산이 아닌 포트폴리오 차원의 기대수익률과 Risk를 알아보자. 먼저 포트폴리오의 기대수익률은 각 개별 자산의 기대수익률의 가중 평균이 된다. 예를 들어 Wa가 100%이면 포트폴리오는 자산 A와 같은 기대수익률을 가질 것이고,  Wa가 0%이면 반대로 Wb가 100%가 되면서 자산 B와 같은 기대수익률을 가질 것이다. 또한 Wa = Wb = 50%인 경우 정확히 두 자산의 평균 값을 기대수익률로 가질 것이다.

포트폴리오 Risk의 경우, 포트폴리오를 구성하는 개별 자산 간의 Correlation이 중요한 역할을 한다. 경우의 수를 살펴보면 다음과 같다.

1)  Correlation = 1, 이 경우에는 기대수익률과 마찬가지로, 포트폴리오의 Risk가 개별 자산의 Risk의 가중평균이 된다.

2) 1)     Correlation = -1, 

만약 포트폴리오를 구성하는 두 개별 자산의 Correlation이 -1, 즉 완전히 Negative하다면, 특정 Wb(=1-Wa)를 찾아내 Risk를 0으로 만드는 것이 가능하다. 하지만 이 경우에도 기대수익률은 두 자산의 가중평균을 따르므로, Rf(Risk-Free rate)보다는 크게 된다. 하지만 현실적으로 Correlation이 -1인 자산은 존재하기 어렵기 때문에 3번째 경우를 살펴보기로 한다.

3)     -1 < Correlation < 1

실제 세상에서 자산들의 상관계수는 -1과 1의 사이의 값이다. 앞에서 잠깐 언급 했듯이 장기적으로는 음수의 상관계수를 가지기 어렵겠지만, 그래도 0과 1사이의 값을 가지게 된다. 이렇게 양 극단 값이 아닐 경우 포트폴리오 편입비중에 따른 Risk는 다음과 같다.

이제까지의 그래프를 조금 변형시켜 세로축에 포트폴리오 기대수익률을, 가로축에 포트롤리오 Risk를 표시하면 다음과 같다.

포트폴리오에 편입된 개별자산의 Correlation이 1이 아니라면, 기대수익률은 가중평균을 유지하면서도 Risk는 가중평균보다 낮게 조절하는 것이 가능하다. 이는 Diversification(분산)이라고 불리며, 포트폴리오에서 가장 중요한 개념이다.

※ 확률변수가정

Modern Portfolio Theory에서는 금융자산의 실현된 수익은 Sample이라고 보았다. 이 Sample 뒤에는 Random Variable의 Population이 있다. 만약 우리가 지난 10년간 연평균 수익률을 구한다면, 이는 Sample Mean을 구한 것이 되고, Population Mean은 아닌 것이다. 

평균, 분산, 공분산 등 위의 이론에 사용된 값은 모두 Population의 True Coefficient를 기준으로 하고 있다. 하지만 우리가 가진 Realized Data는 Sample이기 때문에, 분석 시 추정오차가 발생한다는 점을 주의해야 한다.