Causal Effect

 # Filtering

DGP에 여러 개의 독립 변수가 포함되어 있는 경우를 생각해보자. 임의로 지정한 독립 변수 그룹, 즉 X_(1)가 종속변수 Y에 미치는 Causal Effect는 얼마나 될까? 이를 추정하기 위해 Y에 대해 X_(1)을 이용해 회귀 분석할 경우 오류가 발생한다. 이는 Y의 움직임 중에는 X_(1) 뿐만 아니라 X_(2)로 설명되는 부분이 존재하기 때문이다.

Y에 대한 X_(1)의 Causal Effect를 확인해 보기 위해서는, Y에 대한 X_(2)의 설명력을 제한해야 한다. 즉, 모든 X_(2) 변수 들이 고정(통제)된 상태에서 X_(1)만의 움직임에 대해 반응하는 Y의 움직임을 확인해야 하는 것이다.

 

이를 위해 우리는 Filtering을 통해 Y와 X_(1)의 움직임 중에서 X_(2)로 설명되는 부분을 제외할 것이다. Filtering을 하기 위해서는 먼저 통제할 변수를 독립변수로 하는 Y에 대한 OLS 회귀모형을 만든다. 이 OLS Estimator에 대한 Y의 Error-Term을 e_(Y)라고 해보자. 다음으로 Causal Effect를 측정할 대상이 되는 X_(1)을 종속 변수로 두고 X_(2)를 독립 변수로 하는 OLS 회귀 모형을 만든다. 여기서 X_(1)의 Error-Term을 e_(X)라고 해보자.

여기서 e_(Y)와 e_(X)는 각각 X_(2)으로부터의 영향을 완전히 배제한 값이며, 이 두 값으로 회귀 분석을 실시할 경우 Y에 대한 X_(1)의 Causal Effect를 추정할 수 있다. 아래 식에서 계수인 Beta_~이 Causal Effect의 추정치가 된다.

# Frisch-Waugh-Lovell Theorem

FWL 정리에 의하면 우리는 위와 같은 번거로운 Filtering 과정을 거치지 않고도 Causal Effect를 추정할 수 있다. 가장 처음 제시되었던 DGP에 대해 그대로 OLS 회귀 분석을 실시하는 방법으로도 Causal Effect를 추정할 수 있기 때문이다.

최초 DGP에 대하여 OLS 회귀 모형을 만들면, Beta_^은 X_(1)과 X_(2)에 대하여 각각 도출할 된다. 여기서 Beta_(1)^은 Filtering을 통해 도출한 Beta_~과 같은 값을 가지는 것을 수학적으로 증명할 수 있다. 또한 e는 e_~과 같다는 것도 증명할 수 있다. (증명은 과정은 생략)

# 해석

 

Full size의 OLS 회귀 모형에서는 각 변수에 대한 계수 값이 Causal Effect를 나타낸다. Omitting 오류를 범하는 경우 계수가 Biased이기 때문에 기본적으로 추정이 불가능하다. 반면 General Model의 경우 Omitting 오류 가능성이 낮음과 동시에 각 변수의 계수가 Causal Effect를 나타낸다는 강력한 장점이 있다. 다시 말해, 따로 Filtering을 거치지 않더라도 Full size OLS 분석을 통해 Target 변수 외의 모든 변수가 통제된 상황에서의, Target 변수의 움직임에만 대응되는 종속변수의 민감도를 구할 수 있다는 뜻이다.